复习对数

对数含义

对数，英语叫做 logarithm，用来描述一个数是另一个数的多少次幂。

例如如果有 b^y = x，那么 log_b^x = y，就是幂运算的逆运算。其中：

• b：称之为对数的底数（base）
• x：称之为对数的真数（argument）
• y：对数的结果（result）

常见对数的底

• 自然对数（ln）：底数是 e（大约等于 2.718）。在数学和很多科学领域，使用自然对数比较普遍。
• 二进制对数（log₂）：底数是 2，常用于计算机科学中，因为计算机使用二进制表示数据。
• 常用对数（log₁₀）：底数是 10，通常在科学和工程中使用。

大O表示法中，经常会省略底数‼️

举个例子，假设算法的复杂度为 O(log₂ⁿ) ，我们会直接表示为 O(logn)，直接省略了底数 2.

原因：因为大O表示法关心的是算法的增长速率，而底数是多少不会影响增长的速率，底数的变化仅仅是一个常数因子的变化。

假设有 log₂ⁿ 和 log₁₀ⁿ，这两者之间的关系可以用一个公式：log₁₀ⁿ = log₂ⁿ / log₂¹⁰，进一步进行换算：log₂ⁿ = log₁₀ⁿ * log₂¹⁰，这里的log₂¹⁰ 就是一个常数因子，在大O表示法中常数因子会被忽略，不会去关心常数。这也是为什么在大O表示法中会省略底数的原因。

对数相关计算

1. 乘法法则： log_b^(xy) = log_b^x + log_b^y

   log₂⁸ + log₂⁴ = log₂^{(8 x 4)}

   3 + 2 = log₂³² = 5

2. 除法法则： log_b^(x/y) = log_b^x - log_b^y

   log₂⁸ - log₂² = log₂^{(8 / 2)}

   3 - 1 = log₂⁴ = 2

3. 幂法则：log_b^xk = k * log_b^x

   log₂⁸³ = 3 _ log₂⁸ = 3 _ 3 = 9

   log₂⁸³ = log₂⁵¹² = 9

对数应用场景

1. 计算机科学：O(logn)
2. 物理学
3. 金融和经济学领域
4. 生物学

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